Operaciones Elementales en filas de Matrices

Muchas veces necesitamos aplicar operaciones sobre matrices para obtener una matriz equivalente el cual se puede operar u facilitar un calculo: Existen tres operaciones y estas son:

Operaciones elementales en Filas:

i) Multiplicar (o dividir) una Fila por un número diferente de cero.
ii) Sumar un múltiplo de una Fila a otro renglón.
iii) Intercambiar dos Filas.

El proceso de aplicar las operaciones elementales por renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.

Notación:

1. R_i → cR_i quiere decir “reemplaza la i-ésima Fila por esa misma Fila multiplicado por c”. [Para multiplicar la i-ésima Fila por c se multiplica cada número en la i-ésima Fila por c.]

2. R_j→ Rj + cRi significa sustituye el j-ésima Fila por la suma de la Fila j más la Fila i multiplicado por c.

3. R_i⇄ R_j quiere decir “intercambiar las Filas i y j”.

4. A → B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.

Ahora vamos a reduccir a reglones la siguiente matriz:

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6&18 \\ 4 & 5 & 6&24 \\ 3 & 1 & -2&4 \end{pmatrix}$

Resolución:

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6&18 \\ 4 & 5 & 6&24 \\ 3 & 1 & -2&4 \end{pmatrix} \overset{F_{1}\rightarrow \frac{1}{2}F_{1}}{\rightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&9 \\ 4 & 5 & 6&24 \\ 3 & 1 & -2&4 \end{pmatrix} \overset{\substack{F_{2}\rightarrow F_{2}-4F1\\ F_{3}\rightarrow F_{3}-3F1}}{\rightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&9 \\ 0 & -3 & -6& -12 \\ 0 & -5 & -11& -23 \end{pmatrix}$

$\overset{F_{2}\rightarrow - \frac{1}{3}F_{2}}{\rightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&9 \\ 0 & 1 & 2&4 \\ 0 & 5 & -11&-23 \end{pmatrix} \overset{\substack{F_{1}\rightarrow F_{1}-2F2\\ F_{3}\rightarrow F_{3}+5F2}}{\rightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1&1 \\ 0 & 1 & 2& 4 \\ 0 & 0 & -1& -3 \end{pmatrix}$ $\overset{F_{3}\rightarrow -F_{3}}{\rightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1&1 \\ 0 & 1 & 2&4 \\ 0 & 0 & 1&3 \end{pmatrix} \overset{\substack{F_{1}\rightarrow F_{1}+F_{3}\\ F_{2}\rightarrow F_{2}-F_{3}}}{\rightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&4 \\ 0 & 1 & 0& -2 \\ 0 & 0 & 1& 3 \end{pmatrix}$

Estas operaciones son fundamentales en los métodos de resolución de sistema de ecuaciones como el "Gauss-Jordan"

Con Scilab:

Suponiendo que A es una matriz mxn vamos a ver los comandos para cada una de las operaciones elementales sobre fila:
i) Multiplicar (o dividir) una Fila por un número diferente de cero.
A(fn,:)=A(fn,:)*k
Con este comando podemos multiplicar la fila n con el valor k y asignarlo a la matriz fila n de A

ii) Sumar un múltiplo de una Fila a otro renglón.
A(fm,:)=A(fm,:)+A(fn,:)*2
Con este comando podemos suma la fila m con el multiplo k de la matriz n y asignarlo a la fila m de la matriz A.

iii) Intercambiar dos Filas.
Para ello vamos a utilizar una función que intercambie dos filas.


function Intercambiar(n,m)

global A;
aux =A(n,:);
A(n,:)=A(m,:);
A(m,:)=aux;

endfunction

Los dos parametros de la función son las filas que se van a intercambiar.

Aquí el código completo: Descargarlo

A=[
2,4,6,18;
4,5,6,24;
3,1,-2,4;
];

function Intercambiar(n, m)
    global A;
    aux =A(n,:);
    A(n,:)=A(m,:);
    A(m,:)=aux;
endfunction

disp(A);
disp("F1->(1/2)F1")
A(1,:)=A(1,:)*(1/2);
disp(A);
disp("F2->F2 -4F1");
A(2,:)=A(2,:)+A(1,:)*-4;
disp("F3->F3 -4F1");
A(3,:)=A(3,:)+A(1,:)*-3;
disp(A);
disp("F2->(-1/3)F2")
A(2,:)=A(2,:)*(-1/3);
disp(A);
disp("F1->F1 -2F2");
A(1,:)=A(1,:)+A(2,:)*-2;
disp("F3->F3 +5F2");
A(3,:)=A(3,:)+A(2,:)*5;
disp(A);
disp("F3->-F3")
A(3,:)=A(3,:)*(-1);
disp(A);
disp("F1->F1+F3");
A(1,:)=A(1,:)+A(3,:);
disp("F2->F2 -2F3");
A(2,:)=A(2,:)+A(3,:)*-2;
disp(A);