Matriz elemental

 

Definición:

Una matriz (cuadrada) E de n x n se denomina una matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad, I_n , de n x n mediante una sola operación elemental con renglones.

Notación: Una matriz elemental se denota por E, o por cR_i,, R_j + cR_i, o por P_ij de acuerdo con la forma en que se obtuvo de I. En este caso, Pij (la matriz de permutación) es la matriz obtenida a partir del intercambio de los renglones de i y j de I. 

Ejemplos de Matrices Elementales:

Matriz obtenida multiplicado la segunda fila de I por 5

Matriz obtenida multiplicado la primera fila de I por-3 y sumándolo a la tercera fila

 

 Matriz obtenida permutando la segunda fila y la tercera fila 

 

En Scilab: Utilizando los comando aprendidos en esta entrada podemos realizar lo siguiente:
 

Código:

I=[
1,0,0;
0,1,0;
0,0,1
];

E1=I;
E2=I;
E3=I;

disp("5F2");
E1(2,:)=I(2,:)*(5);
disp(E1);
disp("F3-3F1");
E2(3,:)=I(3,:)+I(1,:)*(-3);
disp(E2);
disp("F3-3F1");
E2(3,:)=I(3,:)+I(1,:)*(-3);
disp("F2<->F3");
E3([2 3],:) = E3([3 2],:);
disp(E3);

Descargalo

Teorema:

Para realizar una operación elemental por renglón en una matriz A se multiplica A por la izquierda por la matriz elemental adecuada.




Ejemplo 2: Operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales
Sea

 

 Realice las siguientes operaciones elementales con las filas de A multiplicando A por la izquierda por una matriz elemental adecuad.

i) Multiplique la segunda fila por 5.
ii) Multplique la primera fila fila por -3 y súmelo a la tercera fila
iii) Permute la segunda y tercera fila

Solución: Como A es una matriz de 3x4, cada matriz elemental E debe ser de 3x3, ya que E debe ser cuadrada y multiplica a A por la izquierda. Se usan aquí los resultados del ejemplo anterior.

Comprobamos estos valores con Scilab multiplicando los valores encontrados anteriormente con la matriz A
Código:

disp(E1*A);
disp(E2*A);
disp(E3*A);

Considere los siguientes tres productos, con c ≠ 0

Las ecuaciones anteriores indican que toda matriz elemental es invertible y
que su inversa es del mismo tipo (tabla 1). Estos datos se deducen a partir del teorema presentado aqui. Es obvio que si se realizan las operaciones _{Fj → Fj+cFi} seguida de _{Fj → Fj-cFi} sobre la matriz A, la matriz A no cambia. También _{Fi → cFi} seguida de _Fi→(1/c)Fi, y la permuta de las mismas das filas dos veces deja la matriz A sin cambio. Se tiene

La última ecuación nos indica que:

Toda matriz de permutación elemental es su propia inversa.

Resumen de los resultados:

Tabla 1

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