Transpuesta de una Matriz

Definición:

Sea A = (a_ij ) una matriz de mxn. Entonces la transpuesta de A, que se escribe A^T, es la matriz de nxm que se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas de A. De manera breve, se puede escribir A^T = (a_ji ). En otras palabras

$Si \ A =\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2} & \cdots &a_{mn} \end{pmatrix},entonces \ A^{T}= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{21} & \cdots &a_{m1} \\ a_{12}& a_{22} & \cdots &a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n}& a_{2n} & \cdots &a_{nm} \end{pmatrix}$

EJEMPLO 1:

Encuentre las transpuestas de las matrices:

$A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{pmatrix} \ \ B=\begin{pmatrix} 2 &3 &1 \\ -1 & 4 &6 \end{pmatrix} \ \ C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -6\\ 2 & -3 & 4\\ 0 & 1 &2 \\ 2 &-1 &5 \end{pmatrix}$

Solución:

Al intercambiar los renglones y las columnas de cada matriz se obtiene

$A^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \ \ B^{T}=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 3 & 4 \\ 1&6 \end{pmatrix} \ \ C^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &2\\ 2 & -3 & 1 & -1\\ -6 & 4 &2 &5 \\ \end{pmatrix}$

En Scilab:

Para calcular la matriz transpuesta se utiliza el operador(') al lado de la matriz para calcularlo

A=[
2,3;
1,4
];
B=[
2,3,1;
-1,4,6
];
C=[
1,2,-6;
2,-3,4;
0,1,2;
2,-1,5
];
disp("A");
disp(A)
disp("A^T");
disp(A'); //TRANSPUESTA
disp("B");
disp(B)
disp("B^T");
disp(B'); //TRANSPUESTA
disp("C");
disp(C)
disp("C^T");
disp(C'); //TRANSPUESTA

Descargar código: http://adf.ly/1eU4HN

La transpuesta juega un papel de suma importancia en la teoría de matrices. Se verá posterirmente que A y A^T tienen muchas propiedades en común. Como las columnas de A^T son renglones de A se podrán establecer hechos sobre la transpuesta para concluir que casi todo lo que es cierto para los renglones de una matriz se cumple para sus columnas.