Uso de la factorización LU para resolver un sistema de ecuaciones

Suponga que se quiere resolver el sistema Ax = b, donde A es invertible. Si A satisface la hipótesis del teorema se puede escribir

Como L es invertible, existe un vector único y tal que Ly = b. Como U también es invertible, existe un vector único x tal que Ux = y. Entonces Ax = L(Ux) = Ly = b y nuestro sistema está resuelto. Observe que Ly = b se puede resolver directamente mediante la sustitución hacia adelante, mientras que el sistema Ux= y se puede resolver por sustitución hacia atrás. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Uso de la factorización LU para resolver un sistema

Resuelva el sistema Ax = b, donde

Solución: Del ejemplo se puede escribir A = LU, donde

El sistema Ly=b conduce a las ecuaciones

Se acaba de realizar la sustitución hacia delante. Ahora, de Ux= y se obtiene

La solución es:

En scilab:  Vamos a comprobor los resultados con Scilab

En la anterior entrada usamos una función fact_LU(A) para obtener las Matrices L y U. Con este cálculo obtenemos y con la siguiente formula:

en la cual se obtienen los valores de y con la inversa de L.

A=[
2,3,2,4;
4,10,-4,0;
-3,-2,-5,-2;
-2,4,4,-7;
]
B=[4,-8,-4,-1]';
m=fact_LU(A);

y=m.L\B

disp(y) 

Obteniendose:

Y de la misma manera obtemos x:

Código:
 

A=[
2,3,2,4;
4,10,-4,0;
-3,-2,-5,-2;
-2,4,4,-7;
]
B=[4,-8,-4,-1]';
m=fact_LU(A);

y=m.L\B
x=m.U\y
disp(x)

Resultado:

NOTA: el segundo valor nos da un valor muy próximo a cero

Share on Google Plus

Acerca del Autor Matemática Positiva

Sitio Web Dedicado al Universo Matemático