La tecnología y las matrices de Leontief: modelo de la economía estadounidense en 1958

El modelo de insumo-producto de Leontief

Un modelo que se usa con frecuencia en economía es el modelo de insumo-producto de Leontief. Suponga un sistema económico que tiene n industrias. Existen dos tipos de demandas en cada industria: la primera, una demanda externa desde afuera del sistema. Por ejemplo, si el sistema es un país, la demanda externa puede provenir de otro país. Segunda, la deman-da que hace una industria a otra industria en el mismo sistema. Por ejemplo, en Estados Unidos la industria automotriz demanda parte de la producción de la industria del acero

Suponga que e_i representa la demanda externa ejercida sobre la i-ésima industria. Suponga que aij representa la demanda interna

Leontief

que la j-ésima industria ejerce sobre la i-ésima industria. De forma más concreta, a_ij representa el número de unidades de producción de la industria i que se necesitan para producir una unidad de la industria j. Sea x₁ la producción de la industria i. Ahora suponga que la producción de cada industria es igual a su demanda (es decir, no hay sobreproducción). La demanda total es igual a la suma de demandas internas y externas. Por ejemplo, para calcular la demanda interna de la industria 2 se observa que la industria 1 necesita a₂₁ unidades de producción de la industria 2 para producir una unidad de su propia producción. Si la producción de la industria 1 es x₁, entonces a₂₁x₁ se trata de la cantidad total que necesita la industria 1 de la industria 2. De esta forma, la demanda interna total sobre la industria 2 es:

$a_{11}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}$

Al igualar la demanda total a la producción de cada industria se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{align*} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}+e_{1}=x_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}+e_{2}=x_{2} \\ \vdots \hspace{1.5cm} \vdots \hspace{2cm} \vdots \hspace{1.2cm} \vdots \hspace{0.9cm} \vdots \hspace{0.2cm}\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}+e_{n}=x_{n} \end{align*}$

Que se puede escribir: como

$Ax+e=x=Ix$ (1)

$(I-A)x=e$ (2)

La matriz A de demandas internas se llama matriz de tecnología, y la matriz I-A se llama matriz de Leontief. Si la matriz de Leontief es invertible, entonces los sistemas (1) y (2) tienen soluciones únicas.

Leontief utilizó su modelo para analizar la economía de Estados Unidos en 1958. Dividió la economía en 81 sectores y los agrupó en seis familias de sectores relacionados. Con objeto de simplificar se tratará cada familia de sectores como un solo sector, de manera que se pueda ver la economía estadounidense como una economía con seis industrias. Estas industrias se enumeran en la tabla siguiente:

Sector	Ejemplo
No metales terminados (NMT)	Muebles, alimentos procesados
Metales terminados (MT)	Electrodomésticos, vehículos automotores
Metales básicos (MB)	Herramientas (producción intermitente), minería
No metales básicos (NMB)	Agricultura, imprenta
Energía (E)	Petróleo, carbón
Servicio (S)	Diversiones, bienes raíces

Tabla 1. Clasificación de la economía por vectores

La tabla de insumo-producto (tabla 1) presenta las demandas internas durante 1958 sobre la base de las cifras de Leontief. Las unidades en la tabla están expresadas en millones de dólares. Así, por ejemplo, el número 0.173 en la posición 6,5 significa que para producir energía equivalente a $1 millón, es necesario proporcionar $0.173 millones 5 $173 000 en servicios. De forma similar, 0.037 en la posición 4,2 significa que con el fin de producir artículos metálicos terminados, es necesario gastar $0.037 millones 5 $37 000 en productos no metálicos básicos.

	NMT	MT	MB	NMB	E	S
NMT	0.170	0.004	0	0.029	0	0.008
MT	0.003	0.295	0.018	0.002	0.004	0.016
MB	0.025	0.173	0.460	0.007	0.011	0.007
NMB	0.348	0.037	0.021	0.403	0.011	0.048
E	0.007	0.001	0.029	0.025	0.358	0.025
S	0.120	0.074	0.104	0.123	0.173	0.234

Tabla 2. Demandas internas en 1958 en la economía de Estados Unidos

Por último, las demandas externas estimadas por Leontief sobre la economía de Estados Unidos en 1958 (en millones de dólares) se presentan en la tabla siguiente:

NMT	99 640
MT	75 548
MB	14 444
NMB	33 501
E	23 527
S	263 985

Tabla 3. Demandas externas sobre la economía de Estados Unidos en 1958 (en millones de dólares)

La matriz tecnológica está dada por

$A=\begin{pmatrix} 0.170&0.004&0&0.029&0&0.008 \\ 0.003&0.295&0.018&0.002&0.004&0.016 \\ 0.025&0.173&0.460&0.007&0.011&0.007 \\ 0.348&0.037&0.021&0.403&0.011&0.048 \\ 0.007&0.001&0.029&0.025&0.358&0.025 \\ 0.120&0.074&0.104&0.123&0.173&0.234 \end{pmatrix}$

$e=\begin{pmatrix} 99 640 \\ 75 548 \\ 14 444 \\ 33 501 \\ 23 527 \\ 263 985 \end{pmatrix}$

Para obtener la matriz de Leontief, se resta

$I-A=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 0 &0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0 &0 &0 \\ 0& 0 & 1 & 0 &0 &0 \\ 0& 0 & 0 & 1 &0 &0 \\ 0& 0 & 0 & 0 &1 &0 \\ 0& 0 & 0 & 0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0.170&0.004&0&0.029&0&0.008 \\ 0.003&0.295&0.018&0.002&0.004&0.016 \\ 0.025&0.173&0.460&0.007&0.011&0.007 \\ 0.348&0.037&0.021&0.403&0.011&0.048 \\ 0.007&0.001&0.029&0.025&0.358&0.025 \\ 0.120&0.074&0.104&0.123&0.173&0.234 \end{pmatrix}$

De la ecuación 2 despejamos el valor de x(vector de la salida "Ideal"):

$x=(I-A)^{-1}e$

Usando scilab:

Siguiendo lo aprendido en inversa y multiplicación de matrices el código queda de esta manera:

A=[
0.170,0.004,0,0.029,0,0.008 ;
0.003,0.295,0.018,0.002,0.004,0.016 ;
0.025,0.173,0.460,0.007,0.011,0.007 ;
0.348,0.037,0.021,0.403,0.011,0.048 ;
0.007,0.001,0.029,0.025,0.358,0.025 ;
0.120,0.074,0.104,0.123,0.173,0.234 
];
I=[
1, 0 , 0 , 0 ,0  ,0 ; 
0, 1 , 0 , 0 ,0  ,0 ; 
0, 0 , 1 , 0 ,0  ,0 ; 
0, 0 , 0 , 1 ,0  ,0 ; 
0, 0 , 0 , 0 ,1  ,0 ; 
0, 0 , 0 , 0 ,0  ,1 ;
];
e=[99640;
75548;
14444;
33501;
23527;
263985
];
x=inv(I-A)*e
disp("x");
disp(x);

Teniendo como salida:

$x=(I-A)^{-1}e\approx \begin{pmatrix} 131028.37 \\ 120443.73 \\ 80644.944 \\ 178679.23 \\ 65657.018 \\ 431259.17\\ \end{pmatrix}$

Esto significa que se requería aproximadamente de 131028 unidades (equivalentes a $ 131028 millones) de productos no metálicos terminados, 120444 unidades de productos metálicos terminados, 80645 unidades de productos metálicos básicos, 178679 unidades de productos no metálicos básicos, 65657 unidades de energía y 431259 unidades de servicios, para manejar la economía de Estados Unidos y cumplir con las demandas externas en 1958.

Descarga código: http://adf.ly/1eJxY1