Un problema de administración de recursos | Pesca

Un problema de administración de recursos | Pesca | Eliminación Gauss-Jordan

Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un prome dio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades del C. Cada semana se proporcionan al lago 25 000 unidades del alimento A, 20 000 unidades del alimento B y 55 000 del C. Si suponemos que los peces se comen todo el alimento, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

Solución:

Sean x₁, x₂ y x₃ el número de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago. Si utilizamos la información del problema, se observa que x1 peces de la especie 1 consumen x₁ unidades del alimento A, x₂ peces de la especie 2 consumen 3x₂ unidades del alimento A y x₃ peces de la especie 3 consumen 2x₃ unidades del alimento A. Entonces, x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 25 000 = suministro total por semana de alimento A. Si se obtiene una ecuación similar para los otros dos alimentos se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

$\left\{\begin{matrix} x_1 & + &3x_2 & + & 2x_3 & = &25000 \\ x_1 & + &4x_2 & + & x_3 & = &20000 \\ 2x_1 & + &5x_2 & + & 5x_3 & = &55000 \end{matrix}\right.$

La matriz aumentada del sistema es

$\begin{pmatrix} 1 & 3& 2 & \mid &25000 \\ 1& 4& 1& \mid&20000 \\ 2& 5& 5 & \mid&55000 \end{pmatrix}$

Utilizando reducción de Gauss-Jordan con scilab nos queda:

Código:

global AB;
AB=[
1 ,  3, 2 ,  25000 
 1,  4,  1,  20000 
 2,  5, 5 ,  55000 
];

function MultiplicarFila(numerofila, k)
    //k Número de Filas
    global AB;
    AB(numerofila,:)=AB(numerofila,:)*(k);
endfunction

function OperacionFilaPivote(filapivote, numerofila, k)
    //k Número de Filas
    global AB;
    AB(numerofila,:)=AB(numerofila,:)+AB(filapivote,:)*(k);
endfunction

disp(AB);
disp("F2->F2+(-F1)")
disp("F3->F3+(-2)F1")
OperacionFilaPivote(1,2,-1)
OperacionFilaPivote(1,3,-2)
disp(AB);
disp("F1->F1+(-3)F1")
disp("F3->F3+F2")
OperacionFilaPivote(2,1,-3)
OperacionFilaPivote(2,3,1)
disp(AB);

Al final queda dos ecuaciones:

$\begin{pmatrix} x_1 & + & 5x_3 &= & 40000 \\ & x_2& -x_3&= & -5000 \\ \end{pmatrix}$

Por consiguiente, si x3 se elige arbitrariamente, se tiene un número infinito de soluciones dada por (40000 - 5x3, x3 - 5000, x3). Por supuesto, se debe tener x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 y x3 ≥ 0. Como x2 = x3 - 5000 ≥ 0, se tiene x3 ≥ 5 000. Esto significa que 0 ≤ x1 ≤ 40000 - 5(5000) = 15000. Por último, como 40000 - 5x3 ≥ 0, se tiene que x3 ≤ 8 000. Esto significa que las poblaciones que pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido son:

$\begin{align*} x_1 &= 40000 -5x_3 \\ x_2 &= x_3-50000 \end{align*} \\5000\leq x_3 \leq80000$

Por ejemplo, si x₃ = 6000, entonces x₁ = 10000 y x₂ = 1 000.

NOTA:

El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, el problema de administración de recursos tiene sólo un número finito de soluciones porque x1, x₂ y x₃ deben ser enteros positivos y existen nada más 3 001 enteros en el intervalo [5 000, 8 000]. (Por ejemplo, no puede haber 5.237.578 peces.)