Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa

Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa | Producto de Matrices

En este ejemplo se muestra la forma en la cual se puede usar la multiplicación de matrices para modelar la manera en que se extiende una enfermedad contagiosa. Suponga que cuatro individuos han contraído esta enfermedad. Este grupo entra en contacto con seis personas de un segundo grupo. Estos contactos, llamados contactos directos, se pueden representar por una matriz de 4 x 6. En seguida se da un ejemplo de este tipo de matrices.

Matriz de contacto directo: primero y segundo grupos

$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &0 &1 &0 \\ 1 &0 & 0 & 1 &0 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

En este caso se hace a_ij = 1 si la i-ésima persona del primer grupo entra en contacto con la j-ésima persona del segundo grupo. Por ejemplo, el 1 en la posición (2, 4) significa que la segunda persona del primer grupo (infectada) entró en contacto con la cuarta persona del segundo grupo. Ahora suponga que un tercer grupo de cinco personas tiene varios contactos directos con individuos del segundo grupo. Esto también se puede representar mediante una matriz.

Matriz de contacto directo: segundo y tercer grupos

$B=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 &0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &0 &0 \end{pmatrix}$

Observe que b₆₄ = 0, lo que quiere decir que la sexta persona del segundo grupo no tiene contacto con la cuarta persona del tercer grupo.

Los contactos indirectos o de segundo orden entre individuos del primero y tercer grupos se representan mediante la matriz de 4x5, C = AB. Para ver esto, observe que una persona del grupo 3 puede quedar contagiada por alguien del grupo 2, quien a su vez fue contagiada por alguien del grupo 1. Por ejemplo, como a₂₄ = 1 y b₄₅ = 1 se ve que, indirectamente, la quinta persona del grupo 3 tuvo contacto (a través de la cuarta persona del grupo 2) con la segunda persona del grupo 1. El número total de contactos indirectos entre la segunda persona del grupo 1 y la

quinta persona del grupo 3 está dado por

$C_{25}=a_{21}b_{15}+a_{22}b_{25}+a_{23}b_{35}+a_{24}b_{45}+a_{25}b_{55}+a_{26}b_{65}\\ \ =1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0+1\cdot0=2$

Ahora se calcula.
Matriz de contacto indirecto: primero y tercer grupos

$C=AB=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &2 &0 \\ 1 &0 &2 &0 &2 \\ 1 &0 &0 &1 &1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 &1 \\ \end{pmatrix}$

Observe que únicamente la segunda persona del grupo 3 no tiene contactos indirectos con la enfermedad. La quinta persona de este grupo tiene 2+1+1=4 contactos indirectos.

En Scilab tenemos lo siguiente:

disp("A");
A=[0,1,0,0,1,0;
1,0,0,1,0,1;
0,0,0,1,1,0;
1,0,0,0,0,1
];
disp(A);
disp("B");
B=[0,0,1,0,1;
0,0,0,1,0;
0,1,0,0,0;
1,0,0,0,1;
0,0,0,1,0;
0,0,1,0,0
]
disp(B)
C=A*B
disp("C");
disp(C);