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Escribiendo una Matriz Invertible como el Producto de Matrices Elementales


Demuestre que la matriz

es invertible y escribala como un producto de matrices elementales.

Solución: Ya se ha trabajado con esta matriz, en esta entrada la puedes ver. Para resolver el problema se reduce A a I y se registran las operaciones elementales con renglones. En este ejemplo se redujo A a I haciendo uso de las siguientes operaciones:


En scilab: Estas nueve operaciones la almacenaremos en nueve variable ( En) usando las comando aprendidos:


A=[
2,4,6;
4,5,6;
3,1,-2;
];

I=[
1,0,0;
0,1,0;
0,0,1;
];

E1=I;E2=I;E3=I;E3=I;E4=I;E5=I;E6=I;E7=I;E8=I;E9=I

E1(1,:)=I(1,:)*(1/2);
E2(2,:)=I(2,:)+I(1,:)*-4;
E3(3,:)=I(3,:)+I(1,:)*-3;
E4(2,:)=I(2,:)*(-1/3);
E5(1,:)=I(1,:)+I(2,:)*-2;
E6(3,:)=I(3,:)+I(2,:)*5;
E7(3,:)=I(3,:)*(-1);
E8(1,:)=I(1,:)+I(3,:);
E9(2,:)=I(2,:)+I(3,:)*-2;


A-1 se obtuvo comenzando con I y aplicando estas nueve operaciones elementales. De este  modo, A-1 es el producto de nueve matrices elementales: 

        F2-2F3    F1+F3     -F3      F3+5F2    F2-2F2            

   (-1/3)F2    F3-3F1     -F2-4F1    (-1/2)F2   

Vamos a comprobar que esta operación es veridica al comparar la inversa directamente con el productos de estas matrices elementales.

inver1=inv(A); Calculamos la Inversa con la función inv()
inver2=E9*E8*E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1; producto de matrices elementales

Al comparar ambas matrices afirma lo que estabamos buscando:
disp(inver1);
disp(inver2);
Por lo que A = (A-1)-1 = producto de las inversas de las nueve matrices en orden opuesto: 

            2F1   F2+4F1  F3+3F1   -3F2    F1+2F

  

               F3-5F2          -3F3           -3F1+F1          F2+2F3  

 






En scilab: Vamos a comparalo usando scilab. Colocamos las operaciones inversas y colocamos el producto de las matrices elementales


E1(1,:)=I(1,:)*(2);
E2(2,:)=I(2,:)+I(1,:)*4;
E3(3,:)=I(3,:)+I(1,:)*3;
E4(2,:)=I(2,:)*(-3);
E5(1,:)=I(1,:)+I(2,:)*2;
E6(3,:)=I(3,:)+I(2,:)*(-5);
E7(3,:)=I(3,:)*(-1);
E8(1,:)=I(1,:)-I(3,:);
E9(2,:)=I(2,:)+I(3,:)*2;

EA=E1*E2*E3*E4*E5*E6*E7*E8*E9;

disp(EA==A)
Aquí se compara ambas matrices y da como resultado que son totalmente iguales.
Descarga Código:
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