Escribiendo una Matriz Invertible como el Producto de Matrices Elementales

Demuestre que la matriz

$A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 &6 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

es invertible y escribala como un producto de matrices elementales.

Solución: Ya se ha trabajado con esta matriz, en esta entrada la puedes ver. Para resolver el problema se reduce A a I y se registran las operaciones elementales con renglones. En este ejemplo se redujo A a I haciendo uso de las siguientes operaciones:

$\begin{matrix} \frac{1}{2}F_1 \hspace{.4cm}&F_2-4F1 \hspace{.4cm}& F_3-3F_1\\ -\frac{1}{3}F_2\hspace{.4cm}&F_1-2F_2\hspace{.4cm}& F_3+5F2 \hspace{.4cm}\\ -F_3 & F_1+F_3\hspace{.4cm}& F2-2F_3\hspace{.4cm}& \end{matrix}$

En scilab: Estas nueve operaciones la almacenaremos en nueve variable ( E_n) usando las comando aprendidos:

^A⁼^[
2,4,6;
4,5,6;
3,1,-2;
];

I=[
1,0,0;
0,1,0;
0,0,1;
];

E1=I;E2=I;E3=I;E3=I;E4=I;E5=I;E6=I;E7=I;E8=I;E9=I

E1(1,:)=I(1,:)*(1/2);
E2(2,:)=I(2,:)+I(1,:)*-4;
E3(3,:)=I(3,:)+I(1,:)*-3;
E4(2,:)=I(2,:)*(-1/3);
E5(1,:)=I(1,:)+I(2,:)*-2;
E6(3,:)=I(3,:)+I(2,:)*5;
E7(3,:)=I(3,:)*(-1);
E8(1,:)=I(1,:)+I(3,:);
E9(2,:)=I(2,:)+I(3,:)*-2;

A^-1 se obtuvo comenzando con I y aplicando estas nueve operaciones elementales. De este modo, A^-1 es el producto de nueve matrices elementales:

F₂-2F₃F₁+F₃ -F₃ F₃+5F₂ F₂-2F₂

(-1/3)F₂F₃-3F₁ -F₂-4F₁ (-1/2)F₂

Vamos a comprobar que esta operación es veridica al comparar la inversa directamente con el productos de estas matrices elementales.

inver1=inv(A); Calculamos la Inversa con la función inv()
inver2=E9*E8*E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1; producto de matrices elementales

Al comparar ambas matrices afirma lo que estabamos buscando:
disp(inver1);
disp(inver2);

Por lo que A = (A^-1)^-1 = producto de las inversas de las nueve matrices en orden opuesto:

2F₁F₂+4F₁ F₃+3F₁ -3F₂ F₁+2F

  



 

 

               F₃-5F₂ -3F₃           -3F₁+F₁          F2+2F₃

En scilab: Vamos a comparalo usando scilab. Colocamos las operaciones inversas y colocamos el producto de las matrices elementales

E1(1,:)=I(1,:)*(2);
E2(2,:)=I(2,:)+I(1,:)*4;
E3(3,:)=I(3,:)+I(1,:)*3;
E4(2,:)=I(2,:)*(-3);
E5(1,:)=I(1,:)+I(2,:)*2;
E6(3,:)=I(3,:)+I(2,:)*(-5);
E7(3,:)=I(3,:)*(-1);
E8(1,:)=I(1,:)-I(3,:);
E9(2,:)=I(2,:)+I(3,:)*2;

EA=E1*E2*E3*E4*E5*E6*E7*E8*E9;

disp(EA==A)