Escribiendo una matriz como el producto de matrices elementales y una triangular superior

Escriba la matriz

$A=\begin{pmatrix} 3&6 &9 \\ 2 & 5 &1 \\ 1 & 1 &8 \end{pmatrix}$

como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior

Solución: Se reduce A por filas para obtener la forma escalonada por renglones:

$\begin{pmatrix} 3&6 &9 \\ 2 & 5 &1 \\ 1 & 1 &8 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_1\rightarrow \frac{1}{3}F_1} \begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 2 & 5 &1 \\ 1 & 1 &8 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{ \substack{F_2\rightarrow F2-2F_1 \\ F_3\rightarrow F_3-F_1 }} \begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 0 & 1 &-5 \\ 0 & -1 &5 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_3\rightarrow F_3+F_2} \begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 0 & 1 &-5 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}=U$

Después, al trabajar hacia atrás, se ve que

$U = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 & 1 &-5 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}= \underset{F_3+F_2}{\begin{pmatrix} 1&0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 1 &1 \end{pmatrix}} \underset{F_3 \to F_3-F_1}{\begin{pmatrix} 1&0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ -1 & 0 &1 \end{pmatrix}}$

$\times \underset{F_2 \to F_2 - F_1}{\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ -2 & 1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}} \underset{F_1 \to \frac{1}{3}F_1}{\begin{pmatrix} \frac{1}{3}&0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 1 & 0 &1 \end{pmatrix}} \underset{A}{\begin{pmatrix} 3&6 &9 \\ 2 & 5 &1 \\ 1 & 1 &8 \end{pmatrix}}$

y tomando las inversas de las cuatro matrices elementales se obtiene

$A= \underset{F_1 \to 3F_1}{\begin{pmatrix} 3 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}} \underset{F_2 \to F_2+2F_1}{\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 2 & 1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}} \underset{F_3 \to F_3+F_1}{\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 1 & 0 &1 \end{pmatrix}}$

$\times \underset{F_3 \to F_3-F_2}{\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & -1 &1 \end{pmatrix}} \underset{U}{\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \\ 0 & 1 &-5 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 3 & 6 &9 \\ 2 & 5 &1 \\ 1 & 1 &8 \end{pmatrix}$

Comprobamos estos valores en Scilab:

U=[
1,2,3;
0,1,-5;
0,0,0;
];

I=[
1,0,0;
0,1,0;
0,0,1;
];

E1=I;E2=I;E3=I;E4=I;

E1(1,:)=I(1,:)*(3);
E2(2,:)=I(2,:)+I(1,:)*2;
E3(3,:)=I(3,:)+I(1,:);
E4(3,:)=I(3,:)+I(2,:)*(-1);

A=E1*E2*E3*E4*U;
disp("A")
disp(A)