Factorizaciones LU de una Matriz

Ejemplo ilustrativo: Reduzca por filas la matriz

$A= \begin{pmatrix} 2 & 3&2 &4 \\ 4& 10& -4& 0\\ -3& -2& -5& -2\\ -2& 4& 4& -7 \end{pmatrix}$

a una matriz triangular superior y después escriba A como un producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior.

Solución: Se procede como antes; sólo que esta vez no se dividen los elementos de la diagonal (pivotes) por sí mismos:

$A= \begin{pmatrix} 2 & 3&2 &4 \\ 4& 10& -4& 0\\ -3& -2& -5& -2\\ -2& 4& 4& -7 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{F_3 \to F_2-2F_1 \\ F_3 \to F_3+\frac{3}{2}F_1 \\ F_4 \to F_4+F_1 \\ }} \begin{pmatrix} 2 & 3&2 &4 \\ 0& 4& -8& -8\\ 0& \frac{5}{2}& -2& 4\\ 0& 7& 6& -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{F_3 \to F_3-\frac{5}{8}F_1 \\ F_4 \to F_4-\frac{7}{4} F_1 \\ }} \begin{pmatrix} 2 & 3&2 &4 \\ 0& 4& -8& -8\\ 0& 0& 3& 9\\ 0& 0& 20& 11 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_4 \to -\frac{20}{3}F_3} \begin{pmatrix} 2 & 3&2 &4 \\ 0& 4& -8& -8\\ 0& 0& 3& 9\\ 0& 0& 0& -49 \end{pmatrix}= U$

Usando las matrices elementales como en el ejemplo, se puede escribir:

$U= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &-\frac{20}{3} &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &-\frac{7}{4} &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &-\frac{5}{8} &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ \end{pmatrix}$

$\times \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ \frac{3}{2} &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ -2 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ \end{pmatrix}A$

$A= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 2 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -\frac{3}{2} &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ -1 &0 &0 &1 \\ \end{pmatrix}$

$\times \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &\frac{5}{8} &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &\frac{7}{4} &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &\frac{20}{3} &1 \\ \end{pmatrix}$

Se ha escrito A como un producto de seis matrices elementales y una matriz triangular superior.
Sea L el producto de las matrices elementales. Debe verificar que

$L= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 2& 1& 0&0 \\ -\frac{3}{2}& \frac{5}{8} & 1& 0\\ -1& \frac{7}{4}& \frac{20}{3}& 1 \end{pmatrix}$

,que se trata de una matriz inferior con unos en la diagonal principal.

Después se puede escribir A = LU, donde L es triangular inferior y U es triangular superior. Los elementos de la diagonal de L son todos iguales a 1 y los elementos de la diagonal de U son los pivotes. Esta factorización se llama factorización LU de A.
El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior se puede llevar a cabo mientras no se requieran permutaciones para poder reducir A a la forma triangular. Esto no siempre es factible.

En Scilab:
Se usa una función creada por drankez, llamada fact_LU, podemos obtener de manera automática las descomposición de A en L*U. La Función devuelve una estructura con las dos matrices m.L y m.U. Esta función usa básicamente eliminación gaussiana con la matriz A sin pivoteo.
De esta manera obtenemos la matriz L y U:

A=[
2,3,2,4;
4,10,-4,0;
-3,-2,-5,-2;
-2,4,4,-7;
]
m=fact_LU(A);
disp('U')
disp(m.U)
disp('L')
disp(m.L)

Verificamos los valores obtenidos:

$L= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 2& 1& 0&0 \\ -\frac{3}{2}& \frac{5}{8} & 1& 0\\ -1& \frac{7}{4}& \frac{20}{3}& 1 \end{pmatrix} \hspace{.78cm} U=\begin{pmatrix} 2 & 3 &2 &4 \\ 0& 4& -8&-8 \\ 0& 0& 3& 9&\\ 0& 0& 0& - 49. \end{pmatrix}$

NOTA: Debemos ejecutar al mismo mismo ambos archivo factorizacionLU.sce y fact_LU.sce .. Para ello usamos el comando SAVE AND EXECUTE ALL. O Ejecutar la funcion fact_LU y luego la factorización.

AL final comprobamos que el producto L*U es la matriz A.