Determinantes

Definición:

Sea

$A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$

una matriz de 2 x 2. Se Define el deteterminante de A como

$\det A = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Con frecuencia se denotará det A por

$\left | A \right | o' \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$

El determinante de una matriz de n 3 n se definirá de manera inductiva. En otras palabras, se usará lo que se sabe sobre un determinante de 2 x 2 para definir un determinante de 3 x 3, que a su vez se usará para definir un determinante de 4 x 4, y así sucesivamente. Se comienza por definir un determinante de 3 x 3

Determinante de 3x3

Sea

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$

Entonces

$\det A = \left | A \right | = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+ a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$

Ejemplo 1: Sea

$A = \begin{pmatrix} 4 & 7 & -2\\ 3 & -5 &1 \\ -8& 6& 9 \end{pmatrix}$

Calcule |A|

Solución:

Método de Sarrus:

Hay otro método con el que se pueden calcular determinantes de 3 x 3. De la ecuación se tiene anterior se obtiene:

es decir

Se escribe A y se le adjuntan sus primeras dos columnas:

A continuación se calculan los seis productos, poniendo signo menos antes de los productos con flechas hacia arriba, y se suman todos. Esto da el resultado de la ecuación anterior.

Ejemplo 2: Calcule

$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 2\\ 4 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

Solución: Si se escribe

y se multiplica como lo indican las flechas

En Scilab:

Para calcular determinantes en scilab se utiliza el comando det():

Calculamos los ejemplos anteriores:

Código:

A=[
4,7,-2;
3,-5,1;
-8,6,9
]
B=[
3,5,2;
4,2,3;
-1,2,4
]
disp("El determinante de A es:");
disp(det(A));
disp("El determinante de B es:");
disp(det(B));